Presentación del tema: La paradoja de Banach-Tarski.

El punto de partida en nuestro estudio de la teoría de conjuntos es el sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel, el cual es necesario para demostrar ciertos teoremas sin generar contradicciones tales como la paradoja de Russell. Sin embargo, por los teoremas de incompletud de Gödel sabemos que no es posible probar que la teoría axiomática es consistente, esto es, no tenemos un criterio para aceptar o rechazar un sistema axiomático. Así, podemos estar trabajando en una teoría similar a una que acepta el principio de comprensión, la cual parece funcionar correctamente, hasta que se encuentra una contradicción que deslegitima la base de la teoría.

Si se quisiera apelar a la intuición para afirmar que un axioma es conveniente o necesario, entonces obtenemos un arma de doble filo, pues si se permite justificar la necesidad de un axioma por ser afín con nuestra intuición más básica, entonces uno se ve forzado a prescindir de otros axiomas que resulten contrarios a la intuición. Esto se ejemplifica perfectamente en la “paradoja” de Banach-Tarski (BTP).

La base fundamental de BTP es el Axioma de Elección. Comprender este axioma será de gran utilidad a la hora de definir y resolver BTP. Este estudio nos llevará a tratar otros temas de matemáticas, desde teoría de grupos, pasando por teoría de la medida hasta temas de geometría no euclidiana.

Esta paradoja pone de manifiesto la diferencia que existe entre lo que es intuitivamente posible, y lo que es verdadero según nuestro sistema axiomático. El teorema afirma que es posible tomar una esfera, dividirla en un conjunto finito de pedazos, y reordenar dichos pedazos para formar dos esferas del mismo radio de la esfera original.

De una esfera, obtenemos dos del mismo tamaño que la original. Imagen extraída de este link.

Pero el teorema también afirma que es posible tomar una esfera del tamaño de la tierra, partirla en pedazos y reordenar los pedazos para formar una esfera del tamaño del sol. De hecho, el teorema también afirma que dados dos conjuntos acotados A y B en el espacio tridimensional {\rm I\!R}^3, cada uno no vacío, es posible particionar A en un número finito de partes y reorganizarlas usando movimientos rígidos para formar B.

El que haya múltiples maneras de plantear un mismo hecho nos indica que hay múltiples interpretaciones o que el mismo teorema conlleva distintos resultados. Nuestro objetivo es llegar a entender la paradoja de manera precisa y detallada, desde su planteamiento formal. De este modo podremos identificar sus implicaciones y su verdadera extensión, todo esto desde la perspectiva conjuntista, principalmente.

Para llegar a entender la paradoja de Banach-Tarski, lo que haremos será publicar entradas en el blog abordando los temas que necesitamos para formular BTP. Inicialmente, haremos una entrada en la que trataremos el Axioma de Elección y algunas de sus aplicaciones en diferentes ramas de las matemáticas, lo que nos ayudará a ver la importancia que tiene este axioma. Posteriormente, usaremos varias entradas para hablar de Teoría de Grupos; definiremos que es un grupo, un subgrupo, un grupo cíclico, un grupo libre y también explicaremos algunas acciones de grupos sobre conjuntos, las cuales serán claves en el desarrollo de nuestro aprendizaje. El siguiente paso será abordar conceptos básicos de Teoría de la Medida, sin profundizar en espacios medibles avanzados. Con todas esas herramientas, estaremos en condiciones de demostrar la paradoja de Banach-Tarski.

Cabe señalar que como guía usaremos los ejercicios del libro “Problems and Theorems in Classical Set Theory” que se encuentran en el capítulo titulado “The Banach–Tarski paradox”.

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